خوارزميات محاكات مسار حركة السيارة

 

الجزء الاول  القسم النظري

ملاحضة : هذه المقالة موجة لاصحاب الاختصاص في البرمجة المحاكات و الالعاب و لديهم مستوى عالي في الرياضيات 

A الدولاب الخلفي

B الدولاب الامامي

|AB|=L  مسافة بين دواليب الامامية و الخلفية

 Va  سرعة دواليب الخلفية

Vb= V سرعة دواليب الامامية

θ  زاوية دوان الدواليب المامية و اتجاه سرعة السيارة

الهدف من هذه المسألة هو حساب مسار الدواليب الاربعة للسيارة مع تغير سرعة و اتجاه السيارة و من ثم ايجاد الخوارزميات المناسب للتحكم في سياقة السيارة مع المتغيرات الاساسية السرعة و زاوية دوران دواليب الامامية

كما نلاحض في الصورة ان المسافة بين الدولاب الامامي و الخلفي يبق دائما ثابتة و السرعة تساوي   V| = |Vb| cos(θ)| => 

 |Vb|= |V|/cos(θ)  

و بتالي شعاع Vb مركب من شعاعين اثنية على مسقاط المماس و الخط القائم 

Vb = Vb cos(θ) Tab +  Vb sin(θ) Nab

Tab = AB/|AB|

Nab شعاع قائم بنسبة ل AB

OA=(xa,ya) OB=(xb,yb)

AB=(xab,yab)=OB-OA=(xb-xa,yb-ya)

xab=xb-xa

yab=yb-ya

Tab= AB/|AB|  =  AB/L= (xab/L,yab/L)

Nab _|_  Tab  =>  Nab . Tab = 0

Nab=(-yab,xab)

Vb = Vb cos(θ) Tab +  Vb sin(θ) Nab

=>

Vb = V/cos(θ) * cos(θ) Tab +  V/cos(θ)* sin(θ) Nab

Va = V Tab

Vb = V Tab +  V tan(θ) Nab

dAB/dt= dOB/dt- dOA/dt= Vb-Va= V tan(θ) Nab

dAB/dt=V  tan(θ) Nab

dTab/dt=V tan(θ)/L Nab

Zab(t) = Zab(0) exp( i ∫ V(t) tan(θ(t))/L dt)

A(t)= ∫ V(t) Tab dt

dB(t)/dt =∫ V(t) Tab dt +∫ V(t) tan(θ(t)) Nab dt

K = tan(θ) /L

هذه هي معادلة الشعاعية التفاظلية لحركة النسبية للدواليب  A و B

dxab(t)/dt  = -V tan(θ)/L yab(t)

dyab(t)/dt  = V tan(θ)/L xab(t)

ω=V tan(θ)/L  سرعة دوران السيارة

dxab(t)/dt  = - ω yab(t)  (1)

dyab(t)/dt  = ω xab(t)    (2)

نقوم الان باضافة الاعداد المركبة لتبسيط المعادلة

Zab = xab + i yab

(1)+ i (2) =>

 dxab(t)/dt  + i dyab(t)/dt= - ω yab(t) +i ω xab(t) 

 d(xab(t) + i yab(t))/dt= i ω ( i yab(t) + xab(t) )

dZab/dt = iω Zab

ln Zab = ∫ iω dt + Constant

Zab(t) = Zab(0) exp( i  ∫ ω(t) dt)

Zab(t) = Zab(0) exp( i  ∫ V(t) tan(θ(t))/L dt) 

و بما ان السرعة الدواليب الخلفية و زاوية الدوران الدواليب الامامية متغيرة سيتولى الحاسوب حل هذه المعادلة التفاظلية بطريقة euler

 الجميع من يقود السيارة يعلم ان اذا قمنا بتثبيت السرعة و المقود ستقوم السيارة بالدوران على نفسها و ترسم شكل دائري او  حركة مستقيم اذا كان المقود مستقيم

لنقم بحساب نصف قطر  الدائرة الخارجية و الداخلية لمسار  سيارة في حالة θ # 0

θ(t) = θ ثابة

V(t) = V ثابة

Zab(t) = Zab(0) exp( i  ∫ V tan(θ)/L dt) 

Zab(t) = Zab(0) exp( i V tan(θ)/L t) 

xab(0)=L    yab(0)=0

Zab(0) =xab(0)+ i yab(0) = L

 Zab(t) = L exp( i V tan(θ)/L t) 

xab(t)= L cos( V tan(θ)/L t) 

yab(t)= L sin( V tan(θ)/L t) 

xb(t)= xab(t)+ xa(t)

yb(t)= yab(t)+ ya(t)

dOA/dt = V Tab

dxa(t)/dt= V/L xab(t)   dya(t)/dt= V/L yab(t)

dxa(t)/dt= V cos( V tan(θ)/L t) 

dya(t)/dt= V sin( V tan(θ)/L t) 

xa(t)=  ∫ V cos( V tan(θ)/L t) dt

ya(t)=  ∫ V sin( V tan(θ)/L t)  dt

xa(t)=  L cot(θ) sin( V tan(θ)/L t) +C1

ya(t)=  -L cot(θ) cos( V tan(θ)/L t) +C2

xa(0)= 0   ya(0)= 0

xa(t)=  L cot(θ) sin( V tan(θ)/L t) 

ya(t)=  L cot(θ) (1-cos( V tan(θ)/L t) )

xa(t)² + (ya(t)- L cot(θ))²=   L² cot(θ)²

Ra =  L cot(θ)

xa^2 + (ya-R)^2=  R^2

نستنتج ان حركة الدولاب A  الخلفي هو على شكل معادلة الدائرة  نصف قطرها   |L |cot(θ)

Ra =  L |cot(θ)|

xb(t)= xab(t)+ xa(t)

yb(t)= yab(t)+ ya(t)

 xb(t)= L cos( V tan(θ)/L t) + L cot(θ) sin( V tan(θ)/L t) 

yb(t)=L sin( V tan(θ)/L t)  + L cot(θ) (1-cos( V tan(θ)/L t) )

xb(t)= L/sin(θ) sin( V tan(θ)/L t +θ) 

yb(t)=-L/sin(θ) cos( V tan(θ)/L t +θ) +L cot(θ)

xb(t)²+ (yb(t)- L cot(θ))²=   L²/sin(θ)²

Rb =  L/|sin(θ)|

 Ra = Rb |cos(θ)|

Ra/Rb= |cos(θ)|

و نستنتج ايضا  ان حركة الدولاب B المامي هو يخضع لمعادلة الدائرة  نصف قطرها  |(L/|sin(θ

تابع الجزء الثاني

تطبيق المعدلات النظرية في البرنامج و تجسيدها على شكل خوزميات...